Funções trigonométricas

Graduado em Matemática (FMU-SP, 2018)

As funções trigonométricas são funções periódicas, ou seja, na sua representação gráfica as funções se caracterizam pela repetição de um padrão. Este padrão chamamos de período. Veja abaixo a definição formal de função periódica:

Uma função f: A→B é dita periódica se existir um número k > 0 onde o menor valor de k que satisfaz a condição abaixo é chamado de período:

Tendo em vista que os valores das funções trigonométricas têm como parâmetro a sua representação no ciclo trigonométrico, então os períodos de cada função estarão limitados à cada ciclo completo no eixo trigonométrico.

Função seno

A função seno é definida como uma função tal que:

Representação no ciclo trigonométrico:

Imagem: A imagem da função seno é o intervalo [-1, 1]. Isso é um fato conhecido pois os valores que o seno pode assumir para qualquer valor de x podem variar apenas de -1 e 1.

Período: O período da função seno é pois se (qualquer valor de x teremos um valor em y) então , terá a mesma imagem no ciclo, ou seja:

Exemplo 1) k=1 e , temos que:

Gráfico:

Função cosseno

A função cosseno é definida como uma função  tal que:

Representação no ciclo trigonométrico:

Imagem: A imagem da função cosseno é o intervalo [-1, 1]. Isso é um fato conhecido pois os valores que o cosseno pode assumir para qualquer valor de x podem variar apenas de -1 e 1.

Período: O período da função cosseno é pois se (qualquer valor de x teremos um valor em y) então , terá a mesma imagem no ciclo, ou seja:

Exemplo 2) k=2 e , temos que:

Gráfico:

Função tangente

A função tangente é definida como uma função tal que:

Representação no ciclo trigonométrico:

Domínio: O domínio da função tangente é diferente das funções seno e cosseno. Logo, o domínio da função será dado por onde percebemos que não existem valores para a tangente quando a sua representação no ciclo estiver no eixo dos senos. Classificamos a função tangente como periódica e também assintótica.

Imagem: A imagem da função tangente é o próprio conjunto dos reais , ou seja, para qualquer valor de x existe y real.

Período: O período da função tangente é . Então dizemos: , terá a mesma imagem no ciclo, ou seja:

Exemplo 2) k=3 e , temos que:

Gráfico:

Note que no ponto o gráfico não tem nenhuma representação em y, o que torna a função tangente uma assíntota nos pontos onde .

Referências Bibliográficas:

IEZZI, Gelson. Fundamentos de Matemática Elementar – Volume 3 - Trigonometria: São Paulo: Editora Atual, 2013.

GUIDORIZZI, Hamilton L. Um Curso de Cálculo: Volume 1. Rio de Janeiro: Editora LTC, 2001.

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