Equações trigonométricas

Mestre em Oceanografia Física (USP, 2019)
Graduada em Física (UFABC, 2016)

Publicado em 14/09/2022
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Uma equação trigonométrica é aquela onde a incógnita aparece na forma da medida de arcos ou nos ângulos de uma função trigonométrica. São exemplos de equações trigonométricas: , e .

Vejamos as principais formas das equações trigonométricas e algumas formas de resolvê-las, através de exemplos.

Equações da forma sen(x) = a, cos(x) = a e tg(x) = a

Para resolver esse tipo de equação precisamos lembrar que temos duas opções possíveis: quando o problema nos fornece o intervalo e quando ele não oferece. No primeiro caso, apenas verificamos no intervalo fornecido no circulo trigonométrico quantos ângulos têm aquele seno, cosseno ou tangente. No segundo caso, precisamos apresentar a resposta de maneira geral, para n voltas no circulo trigonométrico.

Exemplo

1) Resolva a equação , para n voltas e para o intervalo .

Solução:

Começamos encontrando um ângulo conhecido que sabemos ter seno = 1, ou seja, . Em seguida, igualamos a variável a esse ângulo:* Para o intervalo (ou para 1 volta no ciclo trigonométrico, nesse caso é o mesmo) no ciclo trigonométrico: .* Para n voltas no ciclo trigonométrico: para .

Logo temos: .

Observação: Se tivéssemos dois ângulos onde isso é verdade, então a solução seria dada em função dos dois.

Equações da forma sen(x) = sen(a), cos(x) = cos(a) e tg(x) = tg(a)

Aqui a ideia é quase a mesma, porém agora vamos igualar diretamente a variável ao arco desejado.

Exemplo

1) Resolva a equação .

Solução:

Vamos iniciar descobrindo em qual quadrante o ângulo está. Para isso basta converter isso de radianos para graus, onde encontraremos , ou seja, ele está no 1° quadrante.

Vamos lembrar que no 1° quadrante seno e cosseno são positivos, então não precisamos mudar nenhum sinal. Com isso temos que:* Para 1 volta no ciclo trigonométrico: * Para n voltas no ciclo trigonométrico: .

Logo temos: .

Podemos também ter expressões misturando os dois casos vistos acima.

Exercícios

1) (FATEC - adaptado) O conjunto solução da equação , no universo é?

Solução:

Fazendo a mudança de variável temos que:

Logo, retornando a variável x, e levando em conta nosso universo (intervalo):* *

Assim, o conjunto solução será .

2) (UFRGS - adaptado) O número de soluções da equação , no intervalo é?

Solução:

Dividindo os dois lados da equação por cos(x) e manipulando algebricamente: .

Como tg(x) é positivo, temos x está no 1° ou 3° quadrantes, ou seja, temos duas soluções por volta. Mas, de 0 até temos 2,5 voltas, ou seja, no intervalo teremos 5 voltas. Como temos 2 soluções por voltas, teremos no total 10 soluções.

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