Logaritmo natural

O logaritmo surgiu em 1614 numa publicação de John Napier, denominada Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio. John Napier era escocês, nascido em 1550. Ficou muito famoso na matemática, principalmente com a invenção do logaritmo. É por conta dele que o logaritmo natural também é conhecido como logaritmo neperiano.

A definição de logaritmo diz que sendo a e b números reais positivos, chama-se logaritmo de b na base a, o expoente em que a deve ser elevado de modo que a potência obtida de base a seja igual a b.

$\log_a b = x \Leftrightarrow a^x = b$

Com $a > 0$, $a \neq 1$ e $b > 0$.

Assim, o logaritmo nada mais é que um expoente. Dizemos que a é a base do logaritmo, b é o logaritmando e x é o logaritmo.

Definição do logaritmo natural

O logaritmo natural de um número a, a > 0, é o logaritmo desse número a, na base e. Representamos o logaritmo natural por ln. Assim:

$\ln a = \log_e a$

O número e

O número e é chamado de número de Euler por conta de Leonhard Euler. Ele foi um dos matemáticos mais brilhantes da sua época e posterior. Seu nome ficou ligado para sempre ao número irracional e, cujo valor é aproximadamente 2,71.

Assim, o logaritmo natural de um número, é o logaritmo desse número na base igual a 2,71, ou na base e.

Definições

Assim como no estudo dos logaritmos, podemos estabelecer algumas definições sobre o logaritmo natural:

I) $\ln_e = 1$

Usando a definição de logaritmo natural, temos que $\ln e = \log_e e$

Usando a definição de logaritmo, temos: $\log_e e = x \Leftrightarrow e^x = e$

Pelas propriedades da potenciação, se as bases são iguais, os expoentes também são, assim, x = 1 e $\ln e = \log_e e = 1$

II) $\ln 1 = 0$

Usando a definição de logaritmo natural, temos que $\ln 1 = \log_e 1$

Usando a definição de logaritmo, temos: $\log_e 1 = x \Leftrightarrow e^x = 1$

Pelas propriedades da potenciação, todo número elevado a potência 0 é igual a 1, assim, x = 0 e $\ln 1 = \log_e 1 = 0$

III) $\ln e^n = n$

Usando a definição de logaritmo natural, temos que $\ln e^n = \log_e e^n$

Uma das propriedades do logaritmo diz que o logaritmo de uma potência é igual ao produto entre o expoente da potência e o logaritmo cujo logaritmando é a base da potência. Assim, $\log_e e^n = n \cdot \log_e e$.

Como $\log_e e = 1$, temos que $\log_e e^n = n \cdot \log_e e = n \cdot 1 = n$.

Propriedades

As propriedades principais do logaritmo também estão garantidas para o logaritmo natural.

I) Logaritmo natural do produto

O logaritmo natural de um produto é igual à soma dos logaritmos naturais:

$\ln (a \cdot b) = \ln a + \ln b$

II) Logaritmo natural do quociente

O logaritmo natural de um quociente é igual à diferença dos logaritmos naturais:

$\ln \left(\frac{a}{b}\right) = \ln a - \ln b$

III) Logaritmo natural de uma potência

O logaritmo natural de uma potência é igual ao produto do expoente pelo logaritmo natural da base dessa potência.

$\ln a^n = n \cdot \ln a$

Mudança de base

Em um logaritmo natural, a base é e. Podemos mudar da base para a base decimal (10). Veja:

$\ln a = \log_e a$

Mudando para a base 10:

$\log_e a = \frac{\log_{10} a}{\log_{10} e}$

Como $\log_{10} e \approx 0,43$, temos:

$\log_e a = \frac{\log_{10} a}{0,43} = \frac{1}{0,43} \cdot \log a = 2,3 \cdot \log a$

Portanto, podemos realizar uma mudança de base considerando sempre a relação

$\ln a = 2,3\cdot \log a$

Exemplos

1. Sabendo que log 7 = 0,84, determine ln 7.

$\ln a = 2,3 \cdot \log a$

$\ln 7 = 2,3 \cdot \log 7$

Como log 7 = 0,84, então:

$\ln 7 = 2,3 \cdot 0,84$

$\ln 7 = 1,93$

2. Dados log e = 0,43 e log 4 = 0,60, calcule o valor de x na equação $e^x - 64 = 0$.

$e^x - 64 = 0$

$e^x = 64$

$\log e^x = \log 64$

$x \log e = \log 4^3$

$x \log e = 3 \cdot \log 4$

$x = \frac{3 \cdot \log 4}{\log e}$

$x = \frac{3 \cdot 0,60}{0,43}$

$x = 4,18$

Referência:

BOYER, Carl B. História da Matemática. Trad. Elza F. Gomide. SP: Editora Edgard Blücher Ltda, 2012.

Texto originalmente publicado em https://www.infoescola.com/matematica/logaritmo-natural/