Matemática da Pandemia de COVID-19: Exponenciação

Bacharel em Matemática (FMU-SP, 2018)
Mestrando em Física Teórica (UNICSUL, 2018-atualmente)

Vivemos hoje, em 2020, uma pandemia: O coronavírus (SARS-CoV-2), causador da doença chamada COVID-19, que foi descoberto em 31/12/2019. Os primeiros coronavírus humanos foram isolados pela primeira vez em 1937. No entanto, foi em 1965 que o vírus foi descrito como coronavírus, em decorrência do perfil na microscopia, parecendo uma coroa. O coronavírus é uma família de vírus que causam infecções respiratórias. O contágio, que se iniciou na China, gerou uma pandemia, ou seja, o evento que é caracterizado por uma enfermidade epidêmica que é amplamente disseminada na população mundial.

Ilustração de um coronavírus (SARS-CoV-2). Créditos: KinkarkinPhoto / Shutterstock.com

A matemática pode nos ajudar a interpretar os futuros cenários de contágio e o crescimento da população infectada usando como base para este estudo as funções exponenciais. Funções exponenciais são ferramentas muito importantes devido ao número imenso de aplicações que ela nos proporciona. Alguns estudos que fazem uso desse tipo de funções são aqueles envolvendo cálculos financeiros, datação por carbono-14 de minerais e artefatos arqueológicos, crescimento de bactérias e populacional, entre outras diversas aplicações. Vamos apresentar algumas definições sobre esse tipo de função:

Seja uma função e uma constante real . Essa função é chamada de exponencial se, a lei de associação pode ser escrita da forma:

Com . É importante, para melhor compreensão do tema, que o leitor revise os artigos sobre equações exponenciais e funções exponenciais.

Pandemias: Um caso simples

Suponha que um vírus tenha infectado apenas uma pessoa, ou seja, só existe um contaminado dentro de uma população e que, esta pessoa infectada pode infectar apenas duas pessoas sem nenhum tipo de proteção ou contenção dos riscos. Em seguida, cada uma das duas pessoas infectadas podem infectar outras duas, e assim por diante. A função que determinará quantas pessoas estarão infectadas a cada interação será dada por:

Considerando que x é o número de interações entre pessoas e y o novo numero de infectados. Sendo assim, seja o primeiro infectado considerado como a interação zero, pois ele não teve contato com ninguém até este momento (x=0). Supondo que ele teve contato com duas pessoas, o que equivale a uma interação completa do contágio, (x=1), teremos então 2 infectados. Se cada um desses dois infectados tiveram contato com mais duas pessoas cada um, completando a segunda interação (x=2), então teremos 4 infectados. Vamos usar este exemplo numa tabela:

x (Interações)
(nº de infectados)
0 1
1 2
2 4
3 8
4 16
... ...
10 1024

Podemos também plotar o gráfico deste cenário:

Relembrando que este é um exercício fictício e, baseado neste exemplo, bastariam cerca de 32 interações para que aproximadamente 4,5 bilhões de pessoas fiquem infectadas. Como exercício, podemos mudar a base desta função de 2 para 3, 4, etc., e verificar como esta curva se comportaria. Por exemplo, suponha agora que a mesma pessoa com o vírus possa contaminar até 5 pessoas, o nosso cenário fica com uma nova função:

E podemos também fazer uma tabela representando as interações:

x (Interações)
(nº de infectados)
0 1
1 5
2 25
3 125
4 625
... ...
10 9.765.625

Assustador, não? Com apenas 10 interações, alcançamos a marca de quase 10 milhões de infectados. O gráfico da função agora será:

Neste caso, com apenas 14 interações, chegaríamos a marca de mais de 6 bilhões de infectados.

Felizmente, no mundo real, em situações pandêmicas possuem diversos fatores que podem conter a evolução do contágio. A quarentena é um desses meios de contenção que evitam que pessoas contaminem ou sejam contaminadas, o uso de máscaras, álcool, desinfetantes e entre outros produtos auxiliam na não proliferação de um vírus numa população. Mas, se não houver nenhum tipo de prevenção, é possível que um cenário como estes apresentados aconteça, mesmo que em pontos isolados como pequenas cidades ou bairros.

Referências bibliográficas:

GUIDORIZZI, Hamilton L. Um Curso de Cálculo: Volume 1. Rio de Janeiro: Editora LTC, 2001.

DEMANDA, Franklin D; WAITS, Bert K.; FOLEY, Gregory D.; KENNEDY, Daniel. Pré- Calculo. São Paulo: Pearson, 2013.

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