Posições relativas entre reta e circunferência

Bacharel em Matemática (Mackenzie, 2015)
Licenciado em Matemática (Mackenzie, 2014)

Dada uma circunferência qualquer e uma reta r, ambas contidas em um mesmo plano, essa reta pode ser exterior, secante ou tangente.

Exterior

Uma reta r é exterior a uma circunferência quando não há ponto em comum entre uma e outra.

Observe que a reta r e a circunferência não se interceptam em nenhum ponto.

Secante

Uma reta r é secante a uma circunferência, quando possuem dois pontos em comum. Ou seja, a reta corta a circunferência em dois pontos distintos.

Observe que a reta intercepta a circunferência em dois pontos distintos, A e B.

Os pontos entre A e B, da reta r, são interiores à circunferência.

Propriedade da secante

  • I - Se uma reta t e uma circunferência de centro O e raio r, secantes, se interceptam em dois pontos distintos A e B e se M é o ponto médio da corda AB, então a reta OM é perpendicular à reta secante t (ou perpendicular à corda AB).
  • II - Se uma reta t, e uma circunferência de centro O e raio r, secantes, se interceptam em dois pontos distintos A e B, então a reta perpendicular à t, de origem no centro C, passa pelo ponto médio da corda AB.

Tangente

Uma reta r é tangente a uma circunferência quando possuem um único ponto em comum. Ou seja, a reta corta a circunferência em apenas um ponto.

Observe que a reta intercepta a circunferência em apenas um ponto, A.

Propriedades da tangente

  • I - Toda reta é perpendicular a um raio na extremidade da circunferência se, e somente se, é tangente à circunferência.
  • II - Toda reta tangente a uma circunferência é perpendicular ao raio no ponto da tangência.

Posições relativas, através de distâncias entre o centro e a reta

Podemos dizer qual a posição de uma reta em relação a circunferência, analisando a distância do centro até a reta.

Considere uma reta t e uma circunferência de centro O e raio r. Seja d = a distância entre o centro da circunferência e a reta t. Teremos três possibilidades:

I) d < r

A reta será secante:

II) d = r

A reta será tangente:

II) d > r

A reta será exterior:

Referências:

DOLCE, Osvaldo; POMPEO, José Nicolau. Fundamentos de Matemática Elementar. Geometria Plana. Vol. 9. São Paulo: Atual, 1995.

RIBEIRO, Paulo Vinícius. Matemática: Ângulos na circunferência. Vol. 3. São Paulo: Bernoulli.

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