Volume da esfera

Licenciatura em Matemática (USP, 2014)

A fórmula do volume de esfera é dada pela seguinte constatação experimental: o volume de uma esfera de raio R é dois terços do volume de um cilindro de raio da base R e altura h = 2R (cilindro equilátero).

Volume de um cilindro equilátero (raio R e altura h = 2R):

\text{Volume}_\text{cilindro equilatero} = \pi \cdot R^2 \cdot h = \pi \cdot R^2 \cdot (2R) = 2\pi R^3

Volume da esfera de raio R:

De acordo com a constatação experimental indicada acima, temos que:

\text{Volume}_\text{esfera} = \frac{2}{3} \cdot \text{Volume}_\text{cilindro equilatero}

\text{Volume}_\text{esfera} = \frac{2}{3} \cdot 2\pi R^3

\text{Volume}_\text{esfera} = \frac{4}{3} \pi R^3

Exemplo:

Os planetas do sistema solar muitas vezes são representados como esferas. Na verdade, a maioria dos planetes são achatados nos polos, de modo que não são esferas perfeitas. Esse achatamento é praticamente nulo somente nos planetas Mercúrio e Vênus. Considerando que o raio equatorial de Mercúrio (rM) e o raio equatorial de Vênus (rV) são 2.439,7 km e 6.051,8 km, respectivamente. Calcule os volumes desses dois planetas:
Resposta:

Considerando que \pi é aproximadamente 3,14:

Volume de Mercúrio (VM): V_M = \frac{4}{3} \pi (2.439,7)^3 \approx 60.796.371.939,9 km^3

Volume de Vênus (VV): V_M = \frac{4}{3} \pi (6.051,8)^3 \approx 927.944.678.878,9 km^3

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