Cossecante - Trigonometria

O estudo das relações trigonométricas foi fundamental para a disseminação da Matemática. As inovações que surgiram através das relações trigonométricas e suas aplicações, são inúmeras e em muitas áreas do conhecimento.

As relações trigonométricas são estudadas com base em um triângulo retângulo (aquele que possui um ângulo de 90°). Vamos lembrar dos nomes dos lados de um triângulo retângulo:

Definindo a cossecante de um ângulo

A cossecante de um ângulo é a razão entre a hipotenusa e o Cateto oposto a esse. Assim, a relação cossecante depende do ângulo considerado, veja:

Em relação ao ângulo $\alpha$ :

$cossec(\alpha) = \frac{\text{hipotenusa}}{\text{cateto oposto a }\alpha}$

$cossec(\alpha) = \frac{BC}{AB}$

$cossec(\alpha) = \frac{a}{c}$

A cossecante de um ângulo é o inverso do seno desse ângulo, assim:

$cossec(\alpha) = \frac{1}{sen(\alpha)}$

Cossecante dos ângulos notáveis

Existem alguns ângulos, que chamamos de notáveis, onde o valor da cossecante é facilmente calculável, são eles 30°, 45° e 60°.

Como a cossecante é o inverso do seno, basta inverter os valores dos senos dos ângulos acima, na tabela.

Tabela do seno:

$\alpha$	30º	45º	60º
$sen(\alpha)$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$

Tabela da cossecante:

$\alpha$	30º	45º	60º
$cossec(\alpha) = \frac{1}{sen(\alpha)}$	2	$\sqrt{2}$	$\frac{2\sqrt{3}}{3}$

Exemplo prático:

Em um triângulo retângulo a hipotenusa mede 10 e seus catetos medem 6 e 8. A cossecante de $\alpha$ mede?

$cossec(\alpha) = \frac{\text{hipotenusa}}{\text{cateto oposto a }\alpha}$

$cossec(\alpha) = \frac{10}{6}$

$cossec(\alpha) = 1,66$

Função cossecante

Definimos a função cossecante como

$f(x) = \frac{1}{sen(x)}$ , $x \neq k\pi$

Lembrando alguns conceitos do Círculo Trigonométrico, fica claro que a função cossecante tem imagem R - ]-1,1[, ou seja cossec(x) ≤ -1 ou cossec(x) ≥ 1, para todo x real.

A cossecante de um ângulo sempre estará sob o eixo das ordenadas (y). Nesse sentido, o cossecante de um ângulo será sempre positivo no 1º e 2º quadrantes e negativo no 3º e 4º quadrantes

Gráfico da função cossecante

Vamos ilustrar o gráfico da função cossecante. Para isso, vamos construir uma tabela e, a partir dela, o gráfico:

x	f(x) = cossec(x)
0	$\not\exists$
$\frac{\pi}{2}$	1
$\pi$	$\not\exists$
$\frac{3\pi}{2}$	-1
$2\pi$	$\not\exists$

As retas onde a função cossecante não existe, $x = k\pi$ são chamadas de assíntotas.

Referências:

DANTE, Luiz Roberto. Matemática: contexto & aplicações. 2. ed. São Paulo: Ática, 2013.

IEZZI, Gelson. Fundamentos de Matemática Elementar. Trigonometria. Vol. 3. São Paulo: Atual, 1995.

Texto originalmente publicado em https://www.infoescola.com/trigonometria/cossecante/