Cossecante

Bacharel em Matemática (Mackenzie, 2015)
Licenciado em Matemática (Mackenzie, 2014)

O estudo das relações trigonométricas foi fundamental para a disseminação da Matemática. As inovações que surgiram através das relações trigonométricas e suas aplicações, são inúmeras e em muitas áreas do conhecimento.

As relações trigonométricas são estudadas com base em um triângulo retângulo (aquele que possui um ângulo de 90°). Vamos lembrar dos nomes dos lados de um triângulo retângulo:

Definindo a cossecante de um ângulo

A cossecante de um ângulo é a razão entre a hipotenusa e o Cateto oposto a esse. Assim, a relação cossecante depende do ângulo considerado, veja:

Em relação ao ângulo \alpha:

cossec(\alpha) = \frac{\text{hipotenusa}}{\text{cateto oposto a }\alpha}

cossec(\alpha) = \frac{BC}{AB}

cossec(\alpha) = \frac{a}{c}

A cossecante de um ângulo é o inverso do seno desse ângulo, assim:

cossec(\alpha) = \frac{1}{sen(\alpha)}

Cossecante dos ângulos notáveis

Existem alguns ângulos, que chamamos de notáveis, onde o valor da cossecante é facilmente calculável, são eles 30°, 45° e 60°.

Como a cossecante é o inverso do seno, basta inverter os valores dos senos dos ângulos acima, na tabela.

Tabela do seno:

\alpha 30º 45º 60º
sen(\alpha) \frac{1}{2} \frac{\sqrt{2}}{2} \frac{\sqrt{3}}{2}

Tabela da cossecante:

\alpha 30º 45º 60º
cossec(\alpha) = \frac{1}{sen(\alpha)} 2 \sqrt{2} \frac{2\sqrt{3}}{3}

Exemplo prático:

Em um triângulo retângulo a hipotenusa mede 10 e seus catetos medem 6 e 8. A cossecante de \alpha mede?

cossec(\alpha) = \frac{\text{hipotenusa}}{\text{cateto oposto a }\alpha}

cossec(\alpha) = \frac{10}{6}

cossec(\alpha) = 1,66

Função cossecante

Definimos a função cossecante como

f(x) = \frac{1}{sen(x)}, x \neq k\pi

Lembrando alguns conceitos do Círculo Trigonométrico, fica claro que a função cossecante tem imagem R - ]-1,1[, ou seja cossec(x) ≤ -1 ou cossec(x) ≥ 1, para todo x real.

A cossecante de um ângulo sempre estará sob o eixo das ordenadas (y). Nesse sentido, o cossecante de um ângulo será sempre positivo no 1º e 2º quadrantes e negativo no 3º e 4º quadrantes

Gráfico da função cossecante

Vamos ilustrar o gráfico da função cossecante. Para isso, vamos construir uma tabela e, a partir dela, o gráfico:

x f(x) = cossec(x)
0 \not\exists
\frac{\pi}{2} 1
\pi \not\exists
\frac{3\pi}{2} -1
2\pi \not\exists

As retas onde a função cossecante não existe, x = k\pi são chamadas de assíntotas.

Referências:

DANTE, Luiz Roberto. Matemática: contexto & aplicações. 2. ed. São Paulo: Ática, 2013.

IEZZI, Gelson. Fundamentos de Matemática Elementar. Trigonometria. Vol. 3. São Paulo: Atual, 1995.

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