Modelo Atômico de Bohr

O modelo do átomo de Bohr discutido classicamente

Consideremos o átomo de hidrogênio, que possui um próton e um elétron, conforme mostra a figura 01.

Figura 01: o átomo de hidrogênio em seu estado fundamental

Figura 01: o átomo de hidrogênio em seu estado fundamental

A força centrípeta que o núcleo de carga +e exerce sobre um elétron de carga -e é dada pela equação conhecida da Física Clássica:

Fc = m.v²/r

Onde

r é o raio da órbita do elétron.

A força de atração eletrostática (coulombiana) é dada por:

Fe = -k.e²/r²

Ou

Fe = -(1/4.πε0).e²/r²

Para um átomo neutro, com mais de um próton, onde o número de prótons é igual ao número de elétrons a equação fica multiplicada pelo fator Z, de modo que obtemos:

Fe = -(1/4.πε0).Z.e²/r²

A soma destas duas forças tem resultante nula, pois o sistema está em equilíbrio:

Fc + Fe = 0

m.v²/r  + (-  (1/4.πε0).e²/r²) = 0

m.v²/r  = (1/4.πε0).e²/r²

Deste modo, a velocidade do elétron é dada por:

v=e/(4.π.ε0.m.r)1/2

A energia (de ligação) total do elétron é igual a soma da energia cinética com a energia potencial eletrostática, que equivale a:

E = mv²/2 + [- e²/(4.πε0.r)]

Substituindo v nesta equação, obtemos:

E = m[e/(4.πε0.mr)1/2]² /2 - e²/(4.πε0.r)

E = m.e²/[(4.πε0.mr).2] - e²/(4.πε0.r)

E = e²/(8.πε0.r) - e²/(4.πε0.r)

E = - e²/(8.πε0.r)

Para um átomo com Z prótons, teremos:

E = - Z.e²/(8.π.ε0.r)

Os raios das órbitas permitidas são:

r = n².h².ε0/π.me.Z.e²

Ou

r = n².a0/Z

Onde

a0 = 5,2917x10-11m, que é denominado raio de Bohr, que é aproximado por 5,3x10-11m.

A energia de ligação também pode ser expressa assim:

E = - (me.e4.Z²)/(8.ε0².h².n²)

O raio de Bohr também pode ser obtido considerado que a enegia de ligação do elétron com o núcleo é de 13,6eV (1eV = 1,6x10-19J), é possível determinar o raio de Bohr para o átomo de hidrogênio, e obter o valo de 5,3x10-11m.

Os postulados de Bohr

Estes postulados estabelecem uma coerência entre o modelo atômico com a teoria clássica do eletromagnetismo:

- O elétron pode se mover em determinadas órbitas sem irradiar. Estas órbitas estáveis constituem os denominados estados estacionários.

- O momento angular do elétron em torno do núcleo atômico é igual a um múltiplo inteiro de h/2π, ou seja:

L = m.v.r

m.v.r = n.h/2. π

Onde n é um número inteiro, o número quântico, que pode ser 1, 2, 3, 4, ... .

- O elétron irradia energia quando salta de sua órbita para uma órbita mais interna.

Figura 02: o elétron passa de seu estado excitado para o estado fundamental, para uma órbita mais interna.

Figura 02: o elétron passa de seu estado excitado para o estado fundamental, para uma órbita mais interna.

A energia irradiada é dada por:

E = Ei - Ef

Onde

E é a energia,

Ei é a energia antes da transição e

Ef é a energia depois da transição.

Esta mesma equação pode ser assim expressa:

E = h.f

Onde

h é a constante de Planck, que vale 6,63x10-34J.s;

f é freqüência da radiação emitida;

É possível deduzir uma expressão para determinar a freqüência da radiação emitida, a partir das últimas quatro expressões, de modo que obteremos:

f = (m.e4 / 8.ε0².h³)[(1/nf²) – (1/ni²)]

Se

λ = c/f

obtém-se

1/λ = (m.e4 / 8ε0².c.h³).[(1/nf²) – (1/ni²)]

E podemos mostrar que a constante de Rydberg é dada por:

R = m.e4/8.ε0².c.h³

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS:

EISBERG, Robert RESNICK, Robert. Física Quântica – Átomos, Moléculas, Sólidos, Núcleos e Partículas. Tradução de Paulo Costa Ribeiro, Ênio Costa da Silveira e Marta Feijó Barroso. Rio de Janeiro:Campus, 1979

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