Logaritmo

Bacharel em Matemática (Mackenzie, 2015)
Licenciado em Matemática (Mackenzie, 2014)

O estudo do logaritmo surgiu, sobretudo, como um auxílio na solução de equações exponenciais. Ele está presente, também, em modelos matemáticos utilizados várias áreas. Em Química, por exemplo, ele está presente no cálculo de pH e pOH. A escala Richter, por exemplo, é uma escala logarítmica arbitrária, de base 10, utilizada para quantificar a magnitude de um terremoto.

Definição

Sendo a e b números reais positivos, chama-se logaritmo de b na base a, o expoente em que a deve ser elevado de modo que a potência obtida de base a seja igual a b.

\log_a b = x \Leftrightarrow a^x = b

Com a > 0, a \neq 1 e b > 0

Assim, o logaritmo nada mais é que um expoente. Dizemos que "a" é a base do logaritmo, "b" é o logaritmando e "x" é o logaritmo.

Exemplo: \log_2 16 = 4, pois 2^4 = 16.

Definições

I) O logaritmo cujo o logaritmando é igual a 1 e a base é qualquer, é igual a zero:

\log_a 1 = 0, pois a^0 = 1

II) O logaritmo cujo a base e o logaritmando são iguais é igual a um:

\log_a a = 1, pois a^1 = a

III) A potência de base "a" e expoente \log_a b é igual a b:

a^{\log_a b} = b

IV) Dois logaritmos são iguais, numa mesma base, se os logaritmandos são iguais:

\log_a b = \log_a c \Leftrightarrow b = c

Propriedade dos logaritmos

1. Logaritmo do produto

O logaritmo do produto de dois fatores "a" e "b", em qualquer base "c", é igual à soma dos logaritmos de cada um desses fatores.

Se c > 0 e c \neq 1, a > 0, b > 0, então:

\log_c (a \cdot b) = \log_c a + \log_c b

Exemplo: \log_3 (9 \cdot 27) = \log_3 9 + \log_3 27 = 2+3 = 5

2. Logaritmo do quociente

O logaritmo do quociente de dois fatores a e b, em qualquer base c, é igual à diferença dos logaritmos de cada um desses fatores.

Se c > 0 e c \neq 1, a > 0, b > 0, então:

\log_c \left(\frac{a}{b}\right) = \log_c a - \log_c b

Exemplo: \log_3 \left(\frac{27}{9}\right) = \log_3 27 - \log_3 9 = 3 - 2 = 1

3. Logaritmo da potência

O logaritmo de uma potência, em qualquer base c, é igual ao produto entre o expoente da potência e o logaritmo cujo logaritmando é a base da potência.

Se a > 0 e a \neq 1, b > 0, c \in \mathbb{R}, então:

\log_ a b^c = c \cdot \log_a b

Exemplo: \log_3 9^5 = 5 \cdot \log_3 9 = 5 \cdot 2= 10

4. Logaritmo de uma raiz

O logaritmo da raiz enésima de um número real positivo é o produto entre o inverso do índice da raiz pelo logaritmo cujo o logaritmando é o radicando:

Se a > 0 e a \neq 1, b > 0, n \in \mathbb{N}^*, então:

\log_a \sqrt[n]{b} = \log_a b^{\frac{1}{n}} = \frac{1}{n} \cdot \log_a b

Exemplo: \log_5 \sqrt[3]{25} = \frac{1}{3} \cdot \log_5 25 = \frac{1}{3} \cdot 2 = \frac{2}{3}

Mudança de Base

Algumas vezes, os logaritmos com bases diferentes precisam ser transformados para outra base, de forma que ela seja a mesma para ambos.

Se a, b e c são números reais positivos, então:

\log_ a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}, a \neq 1 e c \neq 1

Exemplo: \log_3 5 transformado para a base 2 fica:

\log_3 5 = \frac{\log_2 5}{\log_2 3}

Se a e b são reais positivos e quisermos transformar \log_a b para a base b, temos:

\log_a b = \frac{\log_b b}{\log_b a} = \frac{1}{\log_b a}, a \neq 1 e b \neq 1

Exemplo: \log_3 4 = \frac{1}{\log_4 3}

Se a e b são reais positivos, temos que:

\log_{a^\beta} b = \frac{1}{\beta} \cdot \log_a b, a \neq 1 e \beta \neq 0

Exemplo: \log_{3^5} 10 = \frac{1}{5} \cdot \log_3 10

Leia também:

Referência:

DOLCE, Osvaldo; IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar. Logaritmos. Vol. 2. São Paulo: Atual, 1997.

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