Números complexos

Bacharel em Matemática (Mackenzie, 2015)
Licenciado em Matemática (Mackenzie, 2014)

Os números complexos formam um conjunto numérico que é mais abrangente que os números reais. Eles surgiram após inúmeros estudos, sobretudo após tentativas de se resolver equações do segundo e do terceiro grau. Nessa época, os matemáticos se depararam raízes quadradas de números negativos, que não podem ser expressas no conjunto dos números reais. Assim, os matemáticos passaram a denotar essas raízes usando a letra “i”. A base principal foi adotar i = \sqrt{-1}.

Definição

Quando vamos solucionar equações do tipo x^2 + 1 = 0, nos deparamos com x = \pm \sqrt{-1}. Como não existe raiz quadrada de número negativo no conjunto dos números reais, convencionou-se utilizar a notação i^2 = -1 para representar esse número negativo. Com isso, o resultado da equação anterior seria x = \pm i. Esse número “i” é conhecido como unidade imaginária.

Assim, um número complexo, que chamamos de Z, tem a forma

z = a + bi, a, b\in \mathbb{R}

Chamamos o número a de parte real, Re(Z) = a, e b de parte imaginária, Im(Z) = b. Esta notação é chamada de forma algébrica.

Adição de números complexos

A adição de números complexos é realizada através da adição dos termos semelhantes, ou seja, somamos as partes reais de cada número e depois as partes imaginárias. Sejam z_1 e z_2 dois números complexos, tais que: z_1 = a + bi e z_2 = c+di.

Definiremos a adição de z_1 e z_2 da seguinte forma:

z_1 + z_2 = (a+bi) + (c+di)

z_1 + z_2 = (a+c) + (b+d)i

Exemplo:

Se z_1 = 3+2i e z_2 = 5-3i a soma será:

z_1 + z_2 = (3+5) + (2-3)i

z_1 + z_2 = 8-i

Subtração de números complexos

A subtração de números complexos é análoga à adição. Calculamos a diferença entre as partes reais de cada número e depois as partes imaginárias.

Sejam z_1 e z_2 dois números complexos, tais que: z_1 = a+biz_2 = c+di.

Definiremos a subtração de z_1 e z_2 da seguinte forma:

z_1 - z_2 = (a+bi) - (c+di)

z_1 - z_2 = (a-c) + (b-d)i

Exemplo:

Se z_1 = 7+10i e z_2 = 3+6i a diferença será:

z_1 - z_2 = (7-3) + (10-6)i

z_1 - z_2 = 4 - 4i

Multiplicação de números complexos

Para multiplicar números complexos utilizamos o mesmo método adotado na expansão de um produto notável, multiplicando cada termo do primeiro fator por todos os membros do segundo fator. Assim:

Sejam z_1 e z_2 dois números complexos, tais que: z_1 = a+bi e z_2 = c+di.

Definiremos a multiplicação de z_1 e z_2 da seguinte forma:

z_1 \cdot z_2 = (a+bi) \cdot (c+di)

z_1 \cdot z_2 = (ac - bd) + (ad + bc)i

Exemplo:

Se z_1 = 2+5i e z_2 = 1+3i o produto será:

z_1 \cdot z_2 = (2+5i) + (1+3i)

z_1 \cdot z_2 = 2 \cdot 1 + 2 \cdot 3i + 5i \cdot 1 + 5i \cdot 3i

z_1 \cdot z_2 = 2 + 6i + 5i + 15i^2

z_1 \cdot z_2 = 2 + 6i + 5i + 15 \cdot (-1)

z_1 \cdot z_2 = 2 + 6i + 5i -15

z_1 \cdot z_2 = (2-15) + (6+5)i

z_1 \cdot z_2 = -13 + 11i

Divisão de números complexos

Para dividir números complexos multiplicamos o dividendo e o divisor pelo conjugado do divisor. O conjugado de um número complexo z_1 = a+bi será z_1 = a-bi.

Sempre que multiplicamos um número complexo pelo seu conjugado, o denominador será um número real.

Sejam z_1 e z_2 dois números complexos, tais que: z_1 = a+bi e z_2 = c+di

Definiremos a divisão de z_1 e z_2 da seguinte forma:

\frac{z_1}{z_2} = \frac{a+bi}{c+di} \cdot \frac{c-di}{c-di}

\frac{z_1}{z_2} = \frac{(a+bi) \cdot (c-di)}{c^2 - (di)^2}

\frac{z_1}{z_2} = \frac{(ac-bd) + (ad+bc)i}{c^2 + d^2} = \frac{ac-bd}{c^2 + d^2} + \frac{ad+bc}{c^2 + d^2}i

Exemplo

Se z_1 = 1+2i e z_2 = 2+3i a divisão será:

\frac{z_1}{z_2} = \frac{1+2i}{2+3i} \cdot \frac{2-3i}{2-3i}

\frac{z_1}{z_2} = \frac{(1+2i) \cdot (2-3i)}{2^2 - (3i)^2}

\frac{z_1}{z_2} = \frac{8-i}{4+9} =\frac{8-i}{13} = \frac{8}{13} - \frac{1}{13}i

Argumento e módulo de um número complexo

Podemos representar um número complexo em um sistema de coordenadas. Esse sistema de coordenadas é chamado de Plano de Argand-Gauss. É composto por dois segmentos de reta perpendiculares. O segmento horizontal comporta as partes reais dos números complexos e o segmento vertical, as partes imaginárias. Como exemplo, observe como será representado o número complexo z = a+bi no Plano de Argand-Gauss:

O segmento de reta OZ é chamado de módulo do número complexo, representado por |z|. Na figura abaixo, o ângulo entre o eixo Ox e o segmento OZ é chamado de argumento de Z, representado por \theta.

Argumento de Z

No Triângulo retângulo formado pelos vértices OâZ, temos que:

sen(\theta) = \frac{b}{|z|}

cos(\theta) = \frac{a}{|z|}

Sendo \theta o argumento de Z.

Para encontrar o argumento de Z, podemos utilizar \theta = arcsen(\frac{b}{|z|}) ou \theta = arcos(\frac{a}{|z|}).

Módulo de Z

Aplicando o teorema de Pitágoras teremos:

(|z|)^2 = a^2 + b^2

Então:

|z| = \sqrt{a^2 + b^2}

Forma trigonométrica de um número complexo

Cada número complexo pode ser expresso em função do seu módulo e argumento. Quando isso acontece dizemos que o número complexo está na forma trigonométrica ou polar.

Considere o número complexo z = a+bi, em que z ≠ 0,

Como vimos anteriormente:

sen(\theta) = \frac{b}{|z|} \Longrightarrow b = |z| \cdot sen(\theta)

cos(\theta) = \frac{a}{|z|} \Longrightarrow a = |z| \cdot cos(\theta)

Substituindo os valores de a e b no complexo z = a+bi.

z = a+bi

z = |z| \cdot cos(\theta) + |z| \cdot sen(\theta)i

z = |z| \cdot (cos(\theta) + i \cdot sen(\theta))

Produto de números complexos na forma polar

Considere dois números complexos na forma polar:

z_1 = |z_1| \cdot (cos(\theta_1) + i \cdot sen(\theta_1))

z_2 = |z_2| \cdot (cos(\theta_2) + i \cdot sen(\theta_2))

O produto entre será:

z_1 \cdot z_2 = [|z_1| \cdot (cos(\theta_1) + i \cdot sen(\theta_1))] \cdot [|z_2| \cdot (cos(\theta_2) + i \cdot sen(\theta_2))]

z_1 \cdot z_2 = |z_1| \cdot |z_2| \cdot (cos(\theta_1) + i \cdot sen(\theta_1)) \cdot (cos(\theta_2) + i \cdot sen(\theta_2))

z_1 \cdot z_2 = |z_1| \cdot |z_2| \cdot (cos(\theta_1) \cdot cos(\theta_2) + cos(\theta_1) \cdot i \cdot sen(\theta_2) + i \cdot sen(\theta_1) \cdot cos(\theta_2) + i \cdot sen(\theta_1) \cdot i \cdot sen(\theta_2))

z_1 \cdot z_2 = |z_1| \cdot |z_2| \cdot (cos(\theta_1) \cdot cos(\theta_2) + i \cdot cos(\theta_1) \cdot sen(\theta_2) + i \cdot sen(\theta_0) \cdot cos(\theta_2) + i^2 \cdot sen(\theta_1) \cdot sen(\theta_2))

z_1 \cdot z_2 = |z_1| \cdot |z_2| \cdot (cos(\theta_1) \cdot cos(\theta_2) - sen(\theta_1) \cdot sen(\theta_2) + i (sen(\theta_1) \cdot cos(\theta_2) + sen(\theta_2) \cdot cos(\theta_1)))

z_1 \cdot z_2 = |z_1| \cdot |z_2| \cdot (cos(\theta_1 + \theta_2) + i \cdot sen(\theta_1 + \theta_2))

Assim, para multiplicar dois números complexos na forma polar, basta multiplicar seus módulos e somar seus argumentos.

Exemplo:

Se z_1 = 2 (cos(\frac{\pi}{6}) + i \cdot sen(\frac{\pi}{6})) e z_2 = 3 (cos(\frac{\pi}{3}) + i \cdot sen(\frac{\pi}{3})):

z_1 \cdot z_2 = 2 \cdot 3 (cos(\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{3}) + i \cdot sen(\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{3}))

z_1 \cdot z_2 = 6(cos(\frac{\pi}{2}) + i \cdot sen(\frac{\pi}{2}))

Potência de um número complexo

Como vimos anteriormente, para multiplicar números complexos, basta multiplicar seus módulos e somar seus argumentos.

Se multiplicarmos um número complexo Z por ele mesmo n vezes, teremos:

|z| \cdot |z| \cdot |z| \cdot |z| \cdot \ldots \cdot |z| = (|z|)^n

e

\theta + \theta +\theta + \ldots + \theta = n \cdot \theta

Assim, elevando Z a uma potência n, teremos que:

z^n = (|z|)^n \cdot (cos(n\theta) + i \cdot sen(n\theta))

Exemplo:

Calcular z^3, sendo z = 2(cos(\frac{\pi}{4}) + i \cdot sen(\frac{\pi}{4})).

z^3 = 2^3 (cos(3 \cdot \frac{\pi}{4}) + i \cdot sen(3 \cdot \frac{\pi}{4}))

z^3 = 8 (cos(\frac{3\pi}{4}) + i \cdot sen(\frac{3\pi}{4}))

Arquivado em: Matemática