Razões Trigonométricas

Por Prof. Ailton Feitosa
Dado um triângulo ABC retângulo em B, em que o ângulo BÂC é igual a α, identificamos seis razões entre os lados de ABC, que denominamos razões trigonométricas de α.

As principais são:

  • O seno de α, que é a razão sen α = q/p entre o cateto oposto a α e a hipotenusa do triângulo;
  • O co–seno de α, que é a razão cos α = r/p entre o cateto adjacente a α e a hipotenusa;
  • A tangente de α, que é a razão tg α = q/r entre o cateto oposto e o cateto adjacente a α;

As razões inversas das três acima são chamadas, respectivamente, de co-secante, secante e co-tangente de α.

Observação importante:

Os valores destas razões, para um mesmo ângulo α, não são independentes entre si, já que os comprimentos dos lados de um triângulo retângulo estão relacionados pelo Teorema de Pitágoras. As relações mais importantes entre as razões trigonométricas são:

  • sen2 α + cos2 α = 1
  • tg α =sen α / cos α

Exemplos de Aplicações:

1º)  Ao soltar uma pipa, um menino já usou toda a linha de seu carretel, que tem 100 metros da linha. O ângulo que a linha forma com a horizontal é igual a 18º. A que altura está a pipa? (Dado:    sen18° = 0,3090)

Solução:
Para resolver o problema, vamos admitir que a linha fique em linha reta (na verdade, ela forma em pequena “barriga” devido ao peso da própria linha).

Usando um modelo matemático temos:

Na figura, temos sen 18° =  h/100 . Logo, h = 100 sen18° = 100 x 0,3090 = 30,9 metros. A altura que calculamos é medida a partir da mão do menino. Para calcular em relação ao solo devemos somar a distância da mão ao solo, que pode ser estimada em 1 m. Logo, a pipa está a aproximadamente 31,9 metros do solo.

2º) Sabendo que a tangente de um ângulo agudo é igual a 2, calcule senα e cosα .

Solução:

Temos tg α = sen α/cos α = 2, ou seja, senα = 2 cos α. Substituindo na relação sen² α + cos² α = 1, obtemos 4cos² α + cos² α  = 1.

Portanto, cos2 α = 1/5 e, como as razões trigonométricas de ângulos agudos são números positivos, cos α = 1/√5  = (√5)/5 .

Finalmente, sen α  = 2 cos α = (2√5)/5

Referências Bibliográficas

GIOVANNI, José Ruy. Bonjorno, José Roberto. Matemática 1: Conjuntos, funções , trigonometria: ensino médio - São Paulo: FTD, 1992.

DANTE, Luiz Roberto. Contexto & Aplicações: ensino médio: volume único. São Paulo: Editora Ática, 2001