Posições relativas de duas retas

Em matemática, a geometria analítica estuda equações e suas representações por meio de um sistema de coordenadas cartesianas. Concentrando-se no estudo das retas, algumas propriedades e condições são elementares para interpretar o seu comportamento.

Equações lineares

Seguem abaixo algumas opções da representação de uma equação linear:

1) Uma equação linear pode ser representada no plano por uma linha, ou uma reta, no plano cartesiano em duas dimensões, onde na forma reduzida é descrita por:

y = mx+b

Onde:

• m é o coeficiente angular da reta
• b é o ponto de intersecção com o eixo y (coeficiente linear)
• x é a variável aleatória

2) Relembrando brevemente o conceito de funções do primeiro grau, uma equação de reta pode ser escrita como uma função f, do tipo:

f(x) = mx+b

3) Temos também o que chamamos de forma geral da equação da reta, onde:

ax+by+c = 0

Onde:

• $-\frac{a}{b}$ é o coeficiente angular da reta;
• $-\frac{c}{b}$ é o ponto de intersecção com o eixo y (coeficiente linear);
• x é a variável aleatória;

4) Podemos obter o coeficiente angular de uma reta dados dois pontos, ou duas coordenadas no plano A = (x₁, y₁) e B = (x₂, y₂). Sendo dois pontos distintos temos:

$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

Onde uma outra forma de equação geral da reta pode ser obtida, dados dois pontos:

$y_2 - y_1 = m(x_2 - x_1)$

5) Supondo que já possuímos dois pontos distintos e queremos saber qual é a reta que passa por estes dois pontos. Podemos representar a equação geral da reta a partir do determinante da matriz, que será dada por:

$\begin{bmatrix}x_1 & y_1 & 1\\x_2 & y_2 & 1\\x & y & 1\end{bmatrix} = 0$

Representação gráfica

Podemos descrever uma equação de reta graficamente da seguinte maneira:

No ponto em que y=0, encontramos a intersecção da reta com o eixo x. O ponto b é a intersecção da reta com o eixo y e a tangente do ângulo α formado entre a reta e o eixo x é o nosso coeficiente angular m. Ou seja:

$tg \alpha = m$

Exemplos de retas

Reta: y = x
Coeficiente angular: m = 1
Coeficiente linear: b = 0

Reta: y = -x
Coeficiente angular: m = -1
Coeficiente linear: b = 0

Equação reduzida: y = -x+1
Coeficiente angular: m = -1
Coeficiente linear: b = 1

Equação reduzida: y = x+1
Coeficiente angular: m = 1
Coeficiente linear: b = 1

Equação reduzida: y = -2x+2
Equação geral: 2x+y-2=0
Coeficiente angular: m=-2
Coeficiente linear: b = 2

Equação reduzida: y = 3x-1
Equação geral: -3x+y+1=0
Coeficiente angular: m=3
Coeficiente linear: b=-1

Posição relativa entre retas

Dadas duas retas, ou equações de retas, as suas classificações em relação a posição entre elas irão assumir algumas classificações, estas são:

Paralelas

Duas retas são consideradas paralelas quando o coeficiente angular de uma é igual ao da outra e traçando uma reta perpendicular que passe pelas duas retas, o ângulo formado é de 90º. Em outras palavras, duas retas que são paralelas nunca se interceptam no plano. Em notação, escrevemos que // (r é paralela a s).

Exemplo 1) Dadas duas retas r e s distintas, tal que $\begin{cases}r: y = 2x+3\\s: y = 2x-1\end{cases}$, elas são paralelas pois:

$m_r = m_s$

Veja graficamente:

Pela definição, podemos também dizer que se duas retas são paralelas, então o ângulo formado entre a reta e eixo x de r (a_r) será igual ao da reta s (a_s). Então:

$a_r = a_s \leftrightarrow tg a_r = tg a_s$

Concorrentes

Dizemos que duas retas são concorrentes quando dadas duas retas distintas, os seus coeficientes angulares são diferentes:

Exemplo 2): Sejam as retas $\begin{cases}r:&x+y-4=0\\s:&-5x+2y+4=0\end{cases}$, vemos que:

$m_r \neq m_s$

Graficamente, temos:

Perpendiculares

Duas retas são perpendiculares quando o ângulo formado entre elas é de 90º o que em notação significa que $r \perp s$. Ou seja:

$m_r \cdot m_s = -1$

Exemplo 3) Sejam as retas $\begin{cases}r:&x-y=1\\s:&x+y-3=0\end{cases}$ temos que $r \perp s$:

Se duas retas são perpendiculares, então vale dizer que:

$\text{tg }\alpha_r \cdot \text{tg }\alpha_s = -1 \leftrightarrow \text{tg }\alpha_r = -\text{cotg }\alpha_s$

Referências Bibliográficas:

WINTERLE, Paulo. Vetores e Geometria Analítica. São Paulo: Pearson Makron Books, 2000.