Quando estudamos função, verificamos que uma função do 1º grau é definida por uma expressão polinomial do 1º grau com duas variáveis que o seu gráfico é uma reta.
Reciprocamente, podemos dizer que uma linha reta é representada por uma equação do 1º grau com duas variáveis.
Nesta unidade, estudaremos essa representação.
Equação fundamental da reta
Equação de uma reta que passa por um ponto P(x1, y1) e cujo coeficiente angular é m.
Consideremos uma reta r que passa pelo ponto P(x1, y1) e tem coeficiente angular m.
Observação: Vale lembrar que o coeficiente angular de uma reta é a medida da tangente do ângulo que a reta forma com o eixo x, no sentido anti-horário.
Mantendo o ponto Q (x, y) sobre a reta r, com Q ≠ P, vamos determinar a equação que representa a reta que passa por esses dois pontos.
Utilizando a fórmula do coeficiente angular, temos:
Observação: Se a reta r é vertical, então todos os pontos da reta têm a mesma abscissa. Assim, o ponto Q (x, y) é um ponto qualquer da reta se, e somente se x = x1.
Equação reduzida da reta
Já sabemos que a equação da reta, se forem conhecidos um ponto P(x1, y1) da reta e o coeficiente angular m, é dada por:
Se escolhermos o ponto particular de coordenadas (0, n) para o ponto (x1, y1), teremos a equação:
O número real n, que é a ordenada do ponto onde a reta corta o eixo y, é chamado coeficiente linear da reta.
Então:
Equação segmentária da reta
Consideremos uma reta r, tal que:
- r intercepta o eixo x no ponto A (p, 0);
- r intercepta o eixo y no ponto B (0, q).
Então:
Dividindo ambos os membros por pq, se p ≠ 0 e q ≠ 0, temos:
Equação geral da reta
Consideremos a reta r indicada na figura e os pontos A (x1, y1) e B(x2, y2) sobre ela.
Seja P (x, y) um ponto qualquer dessa reta.
Se os pontos P, A e B são colineares, temos:
Desenvolvendo o determinante, temos:
Fazendo
obtemos a equação geral da reta
ax + by + c = 0
com a, b e c constantes.
Referências bibliográficas:
1. MURAKAMI, C.; IEZZI, G. Fundamentos de Matemática Elementar: Conjuntos. Funções. Vol. 1. 8ª Ed. Editora: Atual. 2004.
2. LIMA, E. L., et al. A Matemática do Ensino Médio. 9ª ed. Rio de Janeiro: SBM, 2006. v.1
3. DANTE, Luis Roberto. Matemática: contexto e aplicações. Volume único. São Paulo: Editora Ática, 2009.
Texto originalmente publicado em https://www.infoescola.com/matematica/equacao-da-reta/
