Equação reduzida da reta

A equação reduzida da reta e descrita pela lei de formação/ função:

y = mx + c

  • x e y: são pontos da reta.
  • m: coeficiente angular.
  • c: coeficiente linear

A cada elemento da equação reduzida da reta é atribuído um significado, acompanhe a seguir:

  • x é a variável independente e y a variável dependente. Ao atribuir valores numéricos para x obtemos o valor de y. Ambos ficam localizados no plano cartesiano, sendo x o eixo da abcissa e y o eixo da ordenada, como mostra a imagem a seguir.
  • m é o coeficiente angular, indica a inclinação da reta em relação ao eixo da abcissa, ou seja, eixo x.
  • c é o coeficiente linear, está relacionado ao valor numérico que a ordenada y assume.

Coeficiente angular

Para encontrarmos o coefiente angular da equação reduzida da reta, podemos utilizar uma fórmula que resulta no cálculo da tangente do ângulo de inclinação do triângulo retângulo.

Imagem

Um triângulo retângulo ABC possui seu ângulo de inclinação em alfa (α), sendo o seu cateto adjacente (x1 – x0) e o cateto oposto (y1– y0). Para calcularmos a função tangente devemos determinar a razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente. Veja:

tg \alpha = \frac{\Delta y}{\Delta x}

m = \frac{\Delta y}{\Delta x}

m = \frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0}

Ao manipularmos a função tangente obtivemos a fórmula referente ao calculo do coeficiente angular que é representada por:

y_1 - y_0 = m (x_1 - x_0)

Para entender melhor como utilizamos a equação reduzida e com obtemos o coeficiente angular, acompanhe o exemplo:

Exemplo: De acordo com os ponto A (2, 4) e B (1, -3) encontre a equação reduzida da reta.

Solução: A equação reduzida da reta pode ser encontrada de duas formas.

Primeira forma

Encontrar o coeficiente angular, utilizando a fórmula: y_1 - y_0 = m(x_1 - x_0)

\begin{cases}x_1 = 2 \\ x_0 = 1 \\ y_1 = 4 \\ y_0 = -3 \end{cases}

y_1 - y_0 = m \cdot (x_1 - x_0)

4-(-3) = m \cdot (2 - 1)

4+3 = m \cdot (+1)

7 = m

Substitua o coeficiente angular e as coordenadas do ponto A (2, 4) na equação: y_1 - y_0 = m \cdot (x_1 - x_0) e obtenha a equação reduzida da reta.

y_1 - y_0 = m \cdot (x_1 -x_0)

y - 4 = 7 \cdot (x - 2)

y - 4 = 7x - 14

-7x + y = -14 + 4

-7x + y = -10 \cdot (-1)

7 x - y = 10

A equação reduzida da reta é dada por: 7x - y =10

Obs.: A escolha da substituição foi em relação ao A, mas poderíamos ter realizado a escolha em relação as coordenadas do ponto B.

Segunda forma

Obter um sistema que possua m (coeficiente angular) e c (coeficiente linear) como incógnitas. Para isso, basta substituir os pontos A (2, 4) e B (1, -3) na equação reduzida da reta (y = mx + c).

Ponto A

y = mx + c

4 = m \cdot 2 + c

-2m - c = -4 \cdot (-1)

2m + c = 4

Ponto B

y = mx + c

-3 = m \cdot 1 + c

-1m - c = +3 \cdot (-1)

1m + c = -3

Ao resolvemos o sistema representado a seguir, obteremos os valores do coeficiente angular e linear.

\begin{cases}2m + c = 4 \rightarrow \text{ primeira equacao} \\ 1m + c = -3 \rightarrow \text{ segunda equacao}\end{cases}

Isolando m na segunda equação, obtemos:

m + c = -3

m = -3 - c

Substituindo m na primeira equação obteremos c.

2m + c = + 4

2 \cdot (-3 - c) + c = 4

-6 - 2c + c = 4

-c = 4 + 6

-c = 10 \cdot (-1)

c = - 10

Coeficiente linear: c = -10

Agora devemos substituir o valor numerico de c na equação isolada de m.

m = -3 -c

m = -3 - (-10)

m = -3 +10

m= 7

Coeficiente angular: m = 7

Substituta os valores referentes ao coeficiente angular e linear na equação reduzida da reta (y = mx + c).

y = mx + c

y = 7x + 10

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