Equações da Reta

Equação fundamental da reta

Podemos representar uma reta r do plano cartesiano por meio de uma equação. Essa equação pode ser obtida a partir de um ponto A(x_A, y_A) e do coeficiente angular m dessa reta.

Considere uma reta r não-vertical, de coeficiente angular m, que passa pelo ponto A(x_A, y_A). Vamos obter a equação dessa reta, tomando um ponto P(x, y) tal que P ≠ A.

A equação fundamental da reta é:

$m = \frac{y-y_A}{x-x_A}\rightarrow y - y_A = m(x-x_A)$

Equação geral da reta

Toda reta r do plano cartesiano pode ser expressa por uma equação do tipo:

$ax + by + c = 0$

Em que:
• a, b, e c são números reais;
• a e b não são simultaneamente nulos.

Podemos obter a equação geral de uma reta r conhecendo dois pontos não coincidentes de r:

$A(x_a, y_a)\text{ e }B(x_b, y_b)$

Para isso, usa-se a condição de alinhamento de A e B com um ponto genérico P(x,y) de r.

Equação reduzida da reta

Vamos determinar a equação da reta r que passa por Q(0,q), e tem coeficiente angular m = tg(α):

$y - q = m(x-0)$

$y - q = mx$

$y = mx + q$

Toda equação na forma y = mx + q é chamada equação reduzida da reta, em que m é o coeficiente angular e q a ordenada do ponto n qual a reta cruza o eixo Oy. A equação reduzida pode ser obtida diretamente da equação geral ax + by + c = 0:

$ax + by + c = 0\rightarrow by = -ax -c$

Onde:

$y = \frac{-a}{b}x - \frac{c}{b}$

$x = \frac{-a}{b}$

$q = -\frac{c}{b}$

Equação segmentária da reta

Considere uma reta r que cruza os eixos cartesianos nos pontos (0, q) e (p, 0).

Vamos escrever a equação da reta r:

Dividindo essa equação por pq, obtemos a equação segmentária da reta:

$\frac{x}{p} + \frac{y}{q} = 1$