Adição de polinômios

O polinômio é uma expressão algébrica que possui monômios formados por números e letras. Entenda monômio como sendo a menor parte de um polinômio, sendo formado por: coeficiente que é um número e parte literal que é uma variável ou um produto de variáveis.

Exemplo de monômios:

2 \cdot x = 2x → 2 é coeficiente, x é parte literal

-1,2 \cdot x \cdot y = -1,2xy → 1,2 é coeficiente, xy é parte literal

Termos semelhantes

Uma adição algébrica de monômios é chamada de polinômio. Para efetuarmos a adição de polinômios devemos agrupar termos semelhantes. Um termo é considerado semelhante a outro, quando possuo a mesma parte literal. Veja a seguir alguns termos semelhantes:

  • 2xy é semelhante a 15 xy, pois possui a mesma parte literal que é xy.
  • -7z é semelhante a 100z, pois possuí a mesma parte literal que é a.

Adição de Polinômios

A adição de polinômios pode ser definida pela soma de P(x) + Q(x), ou seja:

P(x) = a_{n}x^{n} + a_{n - 1}x^{n - 1} + \ldots +a_{1}x^{1} + a_0

O elemento a representa o número e x a variável.

P(x) = b_{n}x^{n} + b_{n - 1}x^{n - 1} + \ldots +b_{1}x^{1} + b_0

O elemento b representa o número e x a variável.

P(x) + Q(x) = (a_{n}x^{n} + a_{n - 1}x^{n - 1} + \ldots +a_{1}x^{1} + a_0) + (b_{n}x^{n} + b_{n - 1}x^{n - 1} + \ldots +b_{1}x^{1} + b_0)

Devemos agrupar os termos de mesma parte literal:

= (a_n + b_n) \cdot x^n + (a_{n-1} + b_{n-1}) \cdot x^{n-1} \ldots (a_1 + b_1) \cdot x^1 + a_0 + b_0

Propriedades da adição de polinômios

Na adição de polinômios temos quatro propriedades válidas, as mesma estão listadas a seguir:

Associativa: Ao associarmos polinômios o resultado final não se altera.

[P(x) + Q(x)] + B(x) = P(x) + [Q(x) + B(x)]

Comutativa: A ordem de adição dos polinômios não altera a resultado final.

P(x) + Q(x) = Q(x) + P(x)

Elemento Neutro: No elemento neutro utilizamos o polinômio 0(x), chamado de identicamente nulo, sendo ele o elemento neutro na adição de polinômios.

Q(x) + 0(x) = 0(x) + Q(x) = P(x)

Elemento oposto: O elemento oposto de Q(x) é dado por – Q(x).

Q(x) - Q(x) = [- Q(x) + Q(x)] = 0(x)

Vamos agora fazer um exemplo referente à adição de polinômios.

Exemplo: Encontre o resultado da soma de polinômios: P(x) = (2x + 2), Q(x) = (3x + 10), T(x) = (x^2 + 5) e B(x) = (x^2 + 1).

P(x) + Q(x) + T(x) + B(x) =
= (2x + 2) + (3x + 10) + (x^2 + 5) + (x^2 + 1) =
= 2x + 2 + 3x + 10 + x^2 + 5 + x^2 + 1 =

Reúna os termos semelhantes

= 2x + 3x + x^2 + x^2 + 2 + 10 + 5 + 1 =

Reduza os termos semelhantes

= 5x + 2x^2 + 18

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