Divisão de polinômios

Mestrado profissional em Matemática (UFSJ, 2015)
Graduada em Matemática (UFMG, 1989)

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Dados dois polinômios A(x) e B(x) ≠ 0, a divisão do polinômio A(x) por B(x) é encontrar dois polinômios Q(x) e R(x) de forma que se verifiquem as seguintes condições:

A(x) = B(x) . Q(x) + R(x)

grau de R(x) < grau de B(x)

A(x) é o dividendo, B(x) é o divisor, Q(x) é o quociente e R(x) é o resto da divisão.

Se R(x) = 0 (polinômio nulo), temos que:

A(x) = B(x) . Q(x) 

ou

Dizemos, nesse caso, que A(x) é divisível por B(x).

O método geral utilizado para se efetuar a divisão de dois polinômios é apresentado a seguir.

Como exemplo, vamos dividir o polinômio A(x) = 2x4 – 3x3 + x – 1 por B(x) = x2 – 2x + 3.

Seguiremos o seguinte roteiro:

1º) Escrevemos os dois polinômios em ordem decrescente de grau.

2º) Completamos o dividendo, caso falte algum termo de grau intermediário, através do coeficiente zero.

3º) Utilizando o mesmo algoritmo da divisão numérica, dividimos o 1º termo de A(x) pelo 1º termo de B(x).

4º) Multiplicamos o quociente obtido por B(x) e subtraímos o resultado de A(x), encontrando o 1º resto parcial.

5º) Dividimos o 1º termo do 1º resto parcial pelo 1º termo de B(x). Multiplicamos o quociente obtido por B(x) e subtraímos do 1º resto parcial, obtendo o 2º resto parcial.

6º) Repetimos esse procedimento até que o grau do resto seja menor que o grau do divisor.

Observe que o resto (-10x + 11) possui grau menor que o grau do divisor (x2 – 2x + 3).

Temos, portanto:

Quociente: Q(x) = 2x2 + x - 4

Resto: R(x) = -10 x + 11

Leia também:

Referências bibliográficas:

1. LIMA, Elon Lages; CARVALHO, Paulo C. P.; WAGNER, Eduardo; MORGADO, Augusto C. A Matemática do Ensino Médio. vol. 3. Coleção do Professor de Matemática, SBM, 2012.

2. IEZZI, G.. Fundamentos De Matemática Elementar . Volume 6. 7ed. São Paulo: Atual Editora, 2004.

3. NETO, Antônio C. Muniz. Tópicos de Matemática Elementar: Volume 6. Polinômios. 2 ed. Rio de Janeiro: Editora SBM, 2016.

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