Subtração de polinômios

Mestrado profissional em Matemática (UFSJ, 2015)
Graduada em Matemática (UFMG, 1989)

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Dados dois polinômios:

A(x) = an xn + an-1 xn-1 + ... + a2x2 + a1x1 + ao

e

B(x) = bn xn + bn-1 xn-1 + ... + b2x2 + b1x1 + bo

existe um único polinômio D(x) tal que

D(x) = A(x) - B(x) para todo . Esse polinômio é:

D(x) = (an - bn) xn + (an-1 - bn-1 )xn-1 + ... + (a2 - b2)x2 + (a1 - b1)x1 + (ao - bo)

e o denominamos diferença ou subtração de A e B. Indicamos: D = A - B

Exemplos:

1) Dados A(x) = x3 + 2x + 1 e B(x) = x2 – 7x + 2, determinar o resultado da subtração de polinômios A(x) - B(x).

Para subtrair dois polinômios, devemos subtrair os coeficientes dos termos de mesmo grau, ou seja, os termos semelhantes. Quando faltar termo, devemos completar o coeficiente com zero.

A(x) - B(x) =

(x3 + 2x + 1) - (x2 – 7x + 2) =

(1 - 0)x3 + (2 - 7)x + (1 - 2) =

x3 - 5x - 1

2) Dados A(x) = 7x3 + 2x2 – 5x e B(x) = 2x3 – x2 + 7x e C(x) = -x3 – 2x, determinar A(x) - B(x) - C(x).

A(x) - B(x) - C(x) =

(7x3 + 2x2 – 5x) – (2x3 – x2 + 7x) – (-x3 – 2x) =

[7 – 2 – (-1)]x3 + [2 – (-1) ] x2 + [-5 – 7 – (-2)]x =

6x3 + 3x2 -10x

3) Se P(x) = 3x4 – 5x + 4 e Q(x) = -x5 + 10x4 + 6x, então:

P(x) - Q(x) =

(3x4 – 5x + 4) - (-x5 + 10x4 + 6x) =

[0 – (-1)]x5 + (3 - 10)x4 + (-5 - 6)x + (4 – 0)

= x5 - 7x4 – 11x + 4

4) Dados P(x) = -5x6 -3x4 + 5x - 8 e Q(x) = -x6 + 4x5 – 9x + 10, temos:

P(x) - Q(x) =

(-5x6 -3x4 + 5x – 8) - (-x6 + 4x5 – 9x + 10) =

[-5 – (-1)]x6 + (0 - 4)x5 + [(-3) - 0)x4 + [5 – (-9)]x + (-8 - 10) =

-4x6 - 4x5 – 3x4 + 14x -18

5) Se P(x) = 2x3 – 3x + 1 e Q(x) = -2x3 + x2 + 4, então:

P(x) - Q(x) =

[2 – (-2)]x3 + (0 - 1)x2 + (-3 - 0)x + (1 - 4) =

4x3 – x2 - 3x - 3

6) Dados A(x) = 7x3 + 2x2 – 5x + 6 e B(x) = 5x3 – x2 + 7x, determinar A(x) - B(x).

Para subtrair dois polinômios podemos adotar uma regra prática, que consiste em colocar os termos semelhantes numa disposição em forma de coluna. A seguir, devemos realizar a operação A(x) + [-B(x)], onde [-B(x)] é o polinômio oposto de B(x).

Vejam a seguir:

Para somar dois polinômios, devemos somar os coeficientes dos termos de mesmo grau, ou seja, os termos semelhantes. Quando faltar termo em algum dos polinômios, devemos completar o coeficiente com zero.

Leia também:

Referências bibliográficas:

1. LIMA, Elon Lages; CARVALHO, Paulo C. P.; WAGNER, Eduardo; MORGADO, Augusto C. A Matemática do Ensino Médio. vol. 3. Coleção do Professor de Matemática, SBM, 2012.

2. IEZZI, G.. Fundamentos De Matemática Elementar . Volume 6. 7ed. São Paulo: Atual Editora, 2004.

3. NETO, Antônio C. Muniz. Tópicos de Matemática Elementar: Volume 6. Polinômios. 2 ed. Rio de Janeiro: Editora SBM, 2016.

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