Multiplicação de polinômios

Mestrado profissional em Matemática (UFSJ, 2015)
Graduada em Matemática (UFMG, 1989)

Dados dois polinômios:

A(x) = an xn + an-1 xn-1 + ... + a2x2 + a1x1 + ao

e

B(x) = bm xm + bm-1 xm-1 + ... + b2x2 + b1x1 + bo

existe um único polinômio P(x) tal que

P(x) = A(x) . B(x) para todo . Esse polinômio é:

P(x) = (an bm) xn+m + (anbm-1 + an-1bm )xn+m-1 + ... + (a1bo + aob1))x + (ao bo)

e o denominamos produto de A e B. Indicamos: P = A . B

Multiplicação de monômios

Dados dois monômios, semelhantes ou não, podemos sempre obter um novo monômio pela multiplicação deles. Para isso, usamos algumas propriedades da multiplicação e da potenciação.

Veja este exemplo.

Observe outros exemplos:

  • (7a) . (-6b) = 7 . (-6) . a. b = -42 ab
  • (10x) . (5x) = 10 . 5 . x . x = 50 x2
  • (-y3) . (2 yz) = (-1) . 2 . y3 . y . z = -2y4z
  • (-a) . (-15a3) = (-1) . (-15) . a . a3 = 7a4
  • (5xy) . (2xy2z) = 5 . 2 . x . y . x. y2 . z = 10x2y3z

Multiplicação de dois polinômios

Na multiplicação de dois polinômios, devemos multiplicar cada termo de um polinômio por todos os termos do outro e reduzir os termos semelhantes.

Vejam os exemplos:

1) Sendo A = 3x2 – 1 e B = x2 – 2x + 1. Calcule A.B

2) Multiplicar A(x) = 2x2 – x + 3 por B(x) = x5 – x + 1.

Temos:

A(x) . B(x) = (2x2 – x + 3).( x5 – x + 1) =

(2x2).(x5) + (2x2).(-x) + (2x2).(1) + (-x).(x5) + (-x).(-x) + (-x). 1 + (3).(x5) + (3).(-x) + (3).(1) =

2x7 – 2x3 + 2x2 –x5 – x + 3x5 -3x + 3 =

2x7 – x6 + 3x5 –2x3 + 3x2 - 3x + 3

3) Multiplicar f(x) = x + 2x2 + 3x3 por g(x) = 4 + 5x + 6x2

Temos:

f(x) . g(x) = (x + 2x2 + 3x3) . (4 + 5x + 6x2) =

(x).(4) + (x).(5x) + (x).(6x2) + (2x2).(4) + (2x2).(5x) + (2x2).(6x2) + (3x3).(4) + (3x3).(5x) + (3x3).(6x2) =

4x + 5x2 + 6x3 + 8x2 + 10x3 + 12x4 + 12x3 + 15x4 + 18x5 =

18x5 + 27x4 + 28x3 + 13x2+ 4x

Costuma-se usar o seguinte dispositivo prático:

4) Dados A(x) = x3 + 2x + 1 e B(x) = x2 – 7x + 2, determinar o polinômio A(x) . B(x).

A(x) . B(x) = (x3 + 2x + 1) . (x2 – 7x + 2) =

(x3).(x2) + (x3).(-7x) + (x3).2 + (2x).(x2) + (2x).(-7x) + (2x).2 + 1.x2 + 1.(-7x) + 1.2 =

x5 – 7x4 + 2x3 + 2x3 – 14x2 + 4x + x2 – 7x + 2 =

x5 – 7x4 + 4x3 – 9x2 – 7x + 2

5) Dados A(x) = 7x3 + 2x2 – 5x e B(x) = 2x3 – x2 + 7x e C(x) = -x3 – 2x, determinar A(x) . B(x) . C(x).

A(x) . B(x) . C(x) = (7x3 + 2x2 – 5x).( 2x3 – x2 + 7x).( -x3 – 2x) =

[(7x3 + 2x2 – 5x).( 2x3 – x2 + 7x)]. ( -x3 – 2x) =

[(7x3).(2x3) + (7x3).(-x2) + (7x3).(7x) + (2x2).(2x3) + (2x2).(-x2) + (2x2).(7x) + (-5x).(2x3) + (-5x).(-x2) + (-5x).(7x)]. ( -x3 – 2x) =

[14x6 – 7 x5 + 49 x4 + 4x5 - 2x4 + 14x3 - 10x4 + 5x3 - 35x2].( -x3 – 2x) =

[14x6 + 2x5 + 37x4 + 19x3 – 35x2].( -x3 – 2x) =

(14x6).(-x3) + (14x6).(-2x) + (-3x5).(-x3) + (-3x5).(-2x) + (37x4).(-x3) + (37x4).(-2x) + (19x3).(-x3) + (19x3).(-2x) + (-35x2).(-x3) + (-35x2).(-2x) =

-14x9 – 28x7 + 3x8 – 4x6 – 37x7 – 64x5 – 19x6 – 38x4 + 35x5 + 70x3 =

-14x9 + 3x8 – 65x7 – 23x6 - 29x5 – 57x5 – 38x4 + 70x3

Aplicações práticas

Podemos usar os polinômios para expressar algebricamente áreas e volumes de figuras planas. Vejam os exemplos:

1) No retângulo a seguir as medidas dos lados estão na mesma unidade de medida. Escreva a expressão que representa a área da região.

A área de um retângulo é dada pelo produto do comprimento pela largura.

A(x) = (3x + 2).(x + 2) =

(3x).(x) + (3x).(2) + (2).(x) + (2).(2) =

3x2 + 6x + 2x + 4 =

3x2 + 8x + 4

2) A figura abaixo representa um cubo de lados (x – 3). Escreva a expressão que representa o volume desse sólido geométrico.

O volume de um cubo é dado pelo produto do comprimento pela largura e pela altura.

V(x) = (x – 3).(x - 3).(x – 3) = [(x – 3).(x - 3)].(x – 3) =

= [x.x + (x).(-3) + (-3).x + (-3).(-3)].(x – 3) =

= [x2 - 3x -3x + 9]. (x – 3) = [x2 – 6x + 9].(x – 3) =

= (x2).x + (x2).(-3) + (-6x).x + (-6x).(-3) + 9.x + 9.(-3) =

= x3 – 3x2 – 6x2 + 18x + 9x – 27 = x3 – 9x2 + 27x - 27

Leia também:

Referências bibliográficas:

1. LIMA, Elon Lages; CARVALHO, Paulo C. P.; WAGNER, Eduardo; MORGADO, Augusto C. A Matemática do Ensino Médio. vol. 3. Coleção do Professor de Matemática, SBM, 2012.

2. IEZZI, G.. Fundamentos De Matemática Elementar . Volume 6. 7ed. São Paulo: Atual Editora, 2004.

3. NETO, Antônio C. Muniz. Tópicos de Matemática Elementar: Volume 6. Polinômios. 2 ed. Rio de Janeiro: Editora SBM, 2016.

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