Terceira Lei de Kepler

Graduado em Física (UFMG, 2011)

A terceira lei de Kepler foi a última das três notáveis contribuições à astronomia moderna devidas ao astrônomo e matemático alemão Johannes Kepler (1571-1630) no início do século XVII. Publicada em 1619, cerca de dez anos após a primeira e a segunda leis, na obra Harmonia do Mundo, a terceira das leis keplerianas é o ponto culminante do colossal trabalho de Kepler junto à abundante base de dados observacionais reunidos pelo astrônomo dinamarquês Tycho Brahe (1546-1601).

Em oposição à forma como chegou às suas duas primeiras leis, resultantes de um caminho essencialmente tortuoso, permeado de intuição e de suposições geométricas, a terceira lei foi derivada por Kepler a partir de uma busca obstinada e com grande rigor matemático em torno da ideia da existência de uma conexão entre o tempo que um planeta leva para completar sua órbita, denominado período orbital ou período sideral, e sua distância ao Sol. Após anos de tentativa e erro, Kepler finalmente obteve a relação que tanto perseguia.

A hoje denominada terceira lei de Kepler para o movimento planetário, também conhecida como “lei harmônica” ou “lei dos períodos”, afirma que:

O quadrado do período orbital de um planeta é diretamente proporcional ao cubo de sua distância média ao Sol.

Em termos matemáticos, representando por T o período orbital de um certo planeta e por r sua distância média ao Sol (que equivale ao comprimento do semieixo maior da órbita), a terceira lei de Kepler pode ser expressa pela equação abaixo:

sendo K uma constante que possui o mesmo valor para as órbitas de todos os planetas do Sistema Solar. Se aplicada para órbitas de outro sistema planetário, a equação fornece um outro valor para K, que é, por sua vez, o mesmo para todas as órbitas daquele sistema. A quantidade K é denominada “constante de Kepler” em homenagem ao astrônomo que a descobriu.

A forma mais conveniente da constante de Kepler é obtida por meio da aplicação da lei ao caso da Terra. Se a distância r for medida em unidades astronômicas (UA), que é uma unidade de medida de distância equivalente à distância média da Terra ao Sol, e o período orbital T for medido em anos, os respectivos valores correspondentes à Terra serão r = 1 UA e T = 1 ano. Aplicada a terceira lei de Kepler, a constante K assume o valor 1 e a relação fica resumida à expressão:

que pode ser aplicada a todos os planetas do Sistema Solar, desde que as distâncias sejam fornecidas em unidades astronômicas e os períodos orbitais, em anos. Essa relação é muito útil para a determinação de parâmetros orbitais dos planetas, pois basta que seja conhecido o período, por exemplo, para que se determine o semieixo maior de uma certa órbita, e vice-versa.

A tabela a seguir exibe os valores dos períodos orbitais e das distâncias médias ao Sol de cada um dos planetas visíveis a olho nu, os únicos conhecidos à época de Kepler. As unidades de medida utilizadas tornam K igual a 1 e os valores dos quadrados dos períodos e dos cubos das distâncias também são exibidos, permitindo que se verifique a acurácia da terceira lei de Kepler.

Planeta Período (anos) Semieixo maior (UA)
Mercúrio 0,241 0,387 0,058 0,058
Vênus 0,615 0,723 0,378 0,378
Terra 1,000 1,000 1,000 1,000
Marte 1,881 1,524 3,537 3,537
Júpiter 11,862 5,203 140,7 140,8
Saturno 29,456 9,534 867,7 867,9

De modo bastante estrito, o conjunto das leis de Kepler é plenamente verdadeiro somente se o corpo central estiver fixo. Como posteriormente demonstrado por Isaac Newton, esse não é o caso de dois corpos que se atraem mutuamente por interação gravitacional. No entanto, como o Sol possui massa muito superior à massa dos planetas que o orbitam, de modo que o centro de massa do sistema está praticamente situado nele, as leis de Kepler podem ser aplicadas à descrição do movimento planetário com grande precisão. Ademais, mesmo em situações em que não se aplicam de forma muito precisa, como no sistema Terra-Lua ou no caso dos satélites mais distantes do Sistema Solar, as leis de Kepler podem ser usadas como uma boa primeira aproximação para a descrição física do movimento.

Leia também:

Referências:

HEWITT, P. G. Conceptual Physics. 10. ed. San Francisco: Pearson, 2006. p. 199-200.

KEPLER, S. O.; SARAIVA, M. F. O. Astronomia & Astrofísica. São Paulo: Editora Livraria da Física, 2014. p. 80-81.

PIRES, A. S. T. Evolução das ideias da Física. 2. ed. São Paulo: Editora Livraria da Física, 2008. p. 102-111.

ROY, A. E.; CLARKE, D. Astronomy: Principles and Practice. 4. ed. Philadelphia: IoP, 2003. p. 170.

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