Algoritmo de Briot-Ruffini - Divisão de Polinômios - Matemática

O algoritmo de Briot-Ruffini (também chamado de dispositivo prático de Briot-Ruffini) é uma maneira simplificada para efetuarmos a divisão entre polinômios. Antes de apresentarmos o método, vamos recordar alguns conceitos sobre polinômios.

Teorema do Resto

Dado um polinômio P(x), existem um único quociente Q(x) e um único resto r(x) pela divisão de P(x) por um binômio (x-a). Ou seja:

$P(x)=Q(x)\cdot (x-a)+r(x)$

Sendo o grau de r(x) menor que o grau de Q(x). Em termos mais simples, significa que o resto r(x) da divisão de um polinômio P(x) por um binômio (x-a) é igual a P(a). Esse fato é simples de demonstrar:

$P(a)=Q(a)\cdot (a-a)+r(a)$

$P(a)=Q(a)\cdot 0+r(a)$

$P(a)=r(a)$

O Algoritmo

De modo mais simples, se quisermos dividir um polinômio P(x) por um binômio (x-a), podemos usar o dispositivo prático de Briot-Ruffini “clássico”. Veremos agora com exemplos como funciona o passo-a-passo deste método. Seja o polinômio:

$P(x)=2x^3-3x^2+2x-1$

E suponha que queremos que ele seja dividido por (x-1). Podemos também verificar se x-1=0 pode ser uma raiz de P(x). Caso seja, o resto dessa divisão será zero pelo teorema do resto:

$x-1=0$

$x=1$

Substituindo temos:

$P(1)=2(1)^3-3(1)^2+2(1)-1=0$

Então o a divisão de P(x) por este binômio terá resto r(x)=0. Sendo assim, vamos iniciar com o algoritmo de Briot-Ruffini:

(1º) Desenhe uma cruz desta maneira:

(2º) No primeiro espaço à esquerda, escreva o valor de a do binômio (x-a) que queremos dividir, que no nosso caso, a=1:

1

(3º) Agora, escreva apenas os coeficientes do polinômio P(x) em ordem, desta forma:

1	2	-3	2	-1

Atente-se ao sinal dos coeficientes!

(4º) Depois, iremos reescrever o primeiro coeficiente do polinômio logo abaixo do que já está escrito, ou seja, vamos “abaixar o coeficiente”:

1	2	-3	2	-1
	2

(5º) Após isto, devemos multiplicar o valor da raiz do divisor (a=1) pelo primeiro coeficiente escrito abaixo (o 2 que abaixamos) e logo em seguida, somar o resultado dessa multiplicação com o coeficiente seguinte (acima), no caso o -3, e colocar o resultado final logo abaixo do coeficiente -3. Observe:

1	2	-3	2	-1
	2	-1

Ou seja:

(1 ⋅ 2)+(-3) = 2-3 = -1

(6º) Repetimos este passo, mas agora com o -1 obtido, veja:

1	2	-3	2	-1
	2	-1	1

Ou seja:

[1 ⋅ (-1)]+(2) = -1+2 = 1

(7º) E por ultimo:

1	2	-3	2	-1
	2	-1	1	0

Que nos dá:

(1 ⋅ 1) + (-1) = 1 - 1 = 0

(8º) Quando alcançarmos a ultima coluna preenchida como acima, significa que a nossa divisão acabou. Então agora podemos saber o resto e o quociente da nossa divisão. Fazemos então uma linha na ultima coluna, assim:

1	2	-3	2	-1
	2	-1	1	0
	Q(x)			r(x)

Os coeficientes à esquerda desta linha, são os mesmos coeficientes do polinômio quociente da divisão Q(x) e o valor à direita que está isolado é o resto da divisão r(x). Como já sabíamos, pelo teorema do resto, que o resto seria zero nesta divisão, então confirmamos este fato pelo dispositivo prático de Briot-Ruffini. O resultado ficou:

$Q(x)=2x^2-1x+1$

$r(x)=0$

Podemos conferir se isso é verdade pelo teorema do resto. Dado Q(x) e r(x), é fácil verificar se:

$P(x)=Q(x)\cdot (x-a)+r(x)$

Conferindo:

$P(x)=(2x^2-1x+1)\cdot(x-1)+0$

$P(x)=2x^3-2x^2-x^2+x+x-1$

$P(x)=2x^3-3x^3+2x-1$

Logo, a divisão está correta e P(x) é divisível por (x-1) com resto igual a 0.