Conjuntos numéricos

Bacharel em Matemática (Mackenzie, 2015)
Licenciado em Matemática (Mackenzie, 2014)

A noção de conjunto numérico é bastante simples e fundamental na Matemática. A partir dos conceitos sobre conjuntos podemos expressar todos os conceitos matemáticos.

Um conjunto nada mais é do que uma coleção qualquer de objetos. Por exemplo:

  1. conjunto das estações do ano: E = {Primavera, Verão, Outono, Inverno}
  2. conjunto dos números primos: B = {2, 3, 5, 7, 11, 13, ...}

Cada item dentro de um conjunto é um elemento desse conjunto.

A ideia dos conjuntos numéricos segue uma ordem de acordo com a história da Matemática. Ou seja, à medida que a matemática avançou, foi necessário a criação de novos conceitos e, com isso, foram surgindo vários conjuntos de números.

Conjunto dos números naturais (\mathbb{N})

\mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...\}

O número zero é o primeiro elemento desse conjunto. O sucessor de cada número nesse conjunto é igual à soma dele mesmo com uma unidade, ou seja, o sucessor de 3 será 4 pois 3 + 1 = 4.

Para representar o conjunto dos números naturais não-nulos (ou seja, diferentes de zero), deve-se colocar um * ao lado do símbolo:

\mathbb{N}^{*} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, ...\}

Conjunto dos números inteiros (\mathbb{Z})

Em determinada época da história, se fez necessário a criação de números que representassem “perdas”, ou “dívidas”. Surgiram, assim, os números negativos. Esses números negativos, junto com os números naturais, formam o conjunto dos números inteiros:

\mathbb{Z} = \{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...\}

Nesse conjunto, para cada número há o seu oposto, ou seu simétrico, por exemplo, 3 e -3 são opostos ou simétricos.

Veja que todo número natural é inteiro, mas nem todo número inteiro é natural. Dizemos que o conjunto dos números naturais está contido no conjunto dos números inteiros.

 

Conjunto dos números racionais (\mathbb{Q})

Com a necessidade de descrever partes de algo inteiro, surgiram as frações. Quando adicionamos as frações aos números inteiros, obtemos os números racionais. São exemplos números racionais:

\mathbb{Q} = \{-1, -\frac{2}{5}, \frac{4}{3}, 5, ...\}

Formalmente, um número racional é todo aquele que pode ser escrito na forma de uma fração. Assim,

\mathbb{Q} = \{x / x = \frac{a}{b}, a \in \mathbb{Z}, b \in \mathbb{Z}, b \neq 0\}

Observe que todo número inteiro é racional, mas nem todo número racional é inteiro. Por exemplo, -1 é inteiro e é racional, mas \frac{4}{3} é racional e não é inteiro. Assim, o conjunto dos números inteiros está contido no conjunto dos números racionais:

Conjunto dos números irracionais (IR)

O conjunto dos números irracionais é composto por todos os números que não são possíveis de se descrever como uma fração. É o caso das raízes não exatas, como \sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5}, e do número \pi, do logaritmo neperiano, o número de ouro \phi (fi), por exemplo.

Este conjunto não está contido em nenhum dos outros três, ou seja, nenhum número irracional é racional, inteiro ou natural e nenhum número natural, inteiro ou racional é irracional.

Conjunto dos números reais (\mathbb{R})

Da reunião do conjunto dos números racionais com os números irracionais obtemos o conjunto dos números reais. Podemos dizer que o conjunto dos números reais é formado por todos os números que podem ser localizados em uma reta numérica.

Assim, todo número que é irracional é real, assim como os naturais, inteiros e racionais.

Existem ainda conjuntos maiores, que englobam todos vistos até aqui. Um exemplo é o conjunto dos números complexos. São números que possuem uma parte real e uma arte imaginária, chamada de “i”. São números da forma a+bi, onde a é a parte real e b é a parte imaginária.

Referência:

DANTE, Luiz Roberto. Matemática: contexto & aplicações. 2. ed. Vol 1. São Paulo: Ática, 2013.

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